正态分布样本最大值服从什么分布

• 主 資深大佬 : mutelog

  更正：求样本的最大值服从什么分布

• 資深大佬 : Jooooooooo

  简单搜了一下似乎并不是一个简单的题目

  相关的帖子: math.stackexchange.com/questions/473229/expected-value-for-maximum-of-n-normal-random-variable

• 資深大佬 : noqwerty

  样本是 iid 且 n 足够大的话有近似解 https://math.stackexchange.com/questions/89030/expectation-of-the-maximum-of-gaussian-random-variables

• 資深大佬 : necomancer

  如果是 iid 似乎很简单吧，对任意分布取 n 个值(X_i)，则 P(max(X_i)<=x)=P(x)^n，P 是 cdf，pdf 的话求个导 q(x)=nP(x)^{n-1}p(x), 其中 p 是 P 对应的 pdf

• 資深大佬 : green15

  看不明白主说什么……印象中统计有这么一说，只要样本数量增加到足够大，不管原来是什么分布，都会趋向于正态

• 資深大佬 : xupefei

  拍了拍脑袋，应该是标准分布

• 資深大佬 : noqwerty

  @green15 #5 你说的中心极限定理 (CLT) 是说样本量足够大的时候变量均值的分布会接近正态分布，并不能推广到最大值 /最小值

• 資深大佬 : tankren

  高数？

• 資深大佬 : Mohanson

  和 m 有关，如果 m 无限大就是常数，m 为 1 就是高斯 其他的有请大佬

• 資深大佬 : northisland

  @Jooooooooo 简单说，是中大奖分布的期望。确实不简单。stackexhange 上牛人多。

• 資深大佬 : Nillouise

  写个程序模拟看看不就知道了吗？

• 資深大佬 : Nillouise

  @Mohanson，m 为 1 的时候不是正太分布吗？
• 資深大佬 : collery

  正态分布是啥来着

• 資深大佬 : xelatex

  留意到样本最大值小于某个数和所有样本小于那个数是等价的，假设独立，可以写出样本最大值的累积分布函数。这东西恐怕没有初等表示。画了两个图，可以感觉一下。
  i.loli.net/2021/02/10/KoupVg8G92lRj4Y.png
  i.loli.net/2021/02/10/YMbQF9PpyBxvmO2.png

• 資深大佬 : hsfzxjy

  同意 @necomancer #4 这其实就是第 m 顺序统计量 https://en.m.wikipedia.org/wiki/Order_statistic

• 資深大佬 : zst

  这是次序统计量的分布问题吧

• 資深大佬 : superhxl

  说正态分布的同学没看清楚吧，样本、总体都是正态分布，但主说的是最大值。

• 資深大佬 : Raven316

  @necomancer nb

• 資深大佬 : noqwerty

  @necomancer #4 问题应该就是求导这步，不像 Uniform distribution 这种很容易按公式推出解析解

• 資深大佬 : Harry1993

  這裏有關於指數分佈的一篇文章，類似的方法應該套用到高斯分佈。

  https://arxiv.org/abs/1307.3945

• 資深大佬 : zmx976508106

  感觉是 beta 分布

• 資深大佬 : zmx976508106

  @xelatex 这个应该是 beta 分布

• 資深大佬 : nuistzhou

  @Nillouise 知识点：正态分布又叫高斯分布

• 資深大佬 : hemind

  @necomancer 你求的结果是 n 个值都比 x 小的概率，和 n 个值中的最大值为 x 不是一个概念。应该直接写 pdf，q(max(X_i) = x) = p(x) * P(x)^(n-1)，意为一个值直接取 x，其他值都比 x 小。

• 資深大佬 : hemind

  我上面应该要乘以 n，q(max(X_i) = x) =n * p(x) * P(x)^(n-1)，每个值都可能取到最大值 x 。后来仔细想了下 @necomancer 的结果和我的是一样的，我之前理解错了