如何检测社交网络中两个人是否是朋友关系(union-find 算法)
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前言
春节放假会了老家,停更了很多天,这是年后连夜肝出来的第一篇文章,先来聊聊春节放假期间发生的事,这次回家遇到了我学生时代的女神,当年她在我心目中那是
“出淤泥而不染、濯清涟而不妖”
没想到这次遇到了她,身体发福,心目中女神的形象瞬间碎了,就像达芬奇再次遇到了蒙娜丽莎
“菡萏香销翠叶残”
好了,言归正传。
有时候我们可以需要判断在大型网络中两台计算机是否相连,是否需要建立一条新的连接才能通信;或者是在社交网络中判断两个人是否是朋友关系(相连表示是朋友关系)。在这种应用中,通常我们可能需要处理数百万的对象和数亿的连接,如何能够快速的判断出是否相连呢?这就需要使用到 union-find 算法
概念
相连
假如输入一对整数,其中每个数字表示的是某种对象(人、地址或者计算机等等),整数对 p,q 理解为“p 与 q 相连”,相连具有以下特性:
- 自反性:p 与 p 是相连的
- 对称性:如果 p 与 q 相连,那么 q 与 p 相连
- 传递性:如果 p 与 q 相连,q 与 r 相连,那么 p 与 r 也相连
对象如何与数字关联起来,后面我们聊到一种算法符号表
等价类
假设相连是一个种等价关系,那么等价关系能够将对象划分为多个等价类,在该算法中,当且仅当两个对象相连时他们才属于同一个等价类
触点
整个网络中的某种对象称为触点
连通分量
将整数对称为连接,将等价类称作连通分量或者简称分量
动态连通性
union-find 算法的目标是当程序从输入中读取了整数对 p q 时,如果已知的所有整数对都不能说明 p q 是相连的,那么将这一对整数输出,否则忽略掉这对整数;我们需要设计数据结构来保存已知的所有整数对的信息,判断出输入的整数对是否是相连的,这种问题叫做动态连通性问题。
union-find 算法 API 定义
public interface UF { void union(int p, int q); //在 p 与 q 之间添加一条连接 int find(int p); //返回 p 所在分量的标识符 boolean connected(int p, int q); //判断出 p 与 q 是否存在于同一个分量中 int count(); //统计出连通分量的数量 }
如果两个触点在不同的分量中,union 操作会使两个分量归并。一开始我们有 N 个分量(每个触点表示一个分量),将两个分量归并之后数量减一。
抽象实现如下:
public abstract class AbstractUF implements UF { protected int[] id; protected int count; public AbstractUF(int N) { count = N; id = new int[N]; for (int i = 0; i < N; i++) { id[i] = i; } } @Override public boolean connected(int p, int q) { return find(p) == find(q); } @Override public int count() { return count; } }
接下来我们就主要来讨论如何实现 union 方法和 find 方法
quick-find 算法
这种算法的实现思路是在同一个连通分量中所有触点在 id[]中的值都是相同的,判断是否连通的 connected 的方法就是判断 id[p]是否等于 id[q]。
public class QuickFindImpl extends AbstractUF { public QuickFindImpl(int N) { super(N); } @Override public int find(int p) { return id[p]; } @Override public void union(int p, int q) { int pId = find(p); int qId = find(q); if (pId == qId) { //如果相等表示 p 与 q 已经属于同一分量中 return; } for (int i = 0; i < id.length; i++) { if (id[i] == pId) { id[i] = qId; //把分量中所有的值都统一成 qId } } count--; //连通分量数减一 } }
- 算法分析: find()操作显然是很快的,时间复杂度 O(1), 但是 union 的算法是无法处理大型数据的,因为每次都需要变量整个数组,那么 union 方法的时间复杂度是 O(n)
quick-union 算法
为了提高 union 方法的速度,我们需要考虑另外一种算法;使用同样的数据结构,只是重新定义 id[]表示的意义,每个触点所对应的 id[]值都是在同一分量中的另一个触点的名称
在数组初始化之后,每个节点的链接都指向自己; id[]数组用父链接
的形式表示了森林
,每一次 union 操作都会找出每个分量的根节点
进行归并。
public class QuickUnionImpl extends AbstractUF { public QuickUnionImpl(int N) { super(N); } @Override public int find(int p) { //找出 p 所在分量的根触点 while (p != id[p]) { p = id[p]; } return p; } @Override public void union(int p, int q) { int pRoot = find(p); //找出 q p 的根触点 int qRoot = find(q); if (pRoot == qRoot) { //处于同一分量不做处理 return; } id[pRoot] = qRoot; //根节点 count--; } }
- 算法分析: 看起来 quick-union 算法比 quick-find 算法更快,因为 union 不需要为每对输入遍历整个数组, 考虑最佳情况下,find 方法只需要访问一次数组就可以得到根触点,那么 union 方法的时间复杂度 O(n); 考虑到最糟糕的输入情况,如下图:
find 方法需要访问数组 n-1 次,那么 union 方法的时间复杂度是 O(n²)
加权 quick-union 算法
为了保证 quick-union 算法最糟糕的情况不在出现,我需要记录每一个树的大小,在进行分量归并操作时总是把小的树连接到大的树上,这种算法构造出来树的高度会远远小于未加权版本所构造的树高度。
public class WeightedQuickUnionImpl extends AbstractUF { private int[] sz; public WeightedQuickUnionImpl(int N) { super(N); sz = new int[N]; for (int i = 0; i < N; i++) { sz[i] = 1; } } @Override public void union(int p, int q) { int pRoot = find(p); //找出 q p 的根触点 int qRoot = find(q); if (pRoot == qRoot) { //处于同一分量不做处理 return; } //小树合并到大树 if (sz[pRoot] < sz[qRoot]) { sz[qRoot] += sz[pRoot]; id[pRoot] = qRoot; } else { sz[pRoot] += sz[qRoot]; id[qRoot] = pRoot; } count--; } @Override public int find(int p) { //找出 p 所在分量的根触点 while (p != id[p]) { p = id[p]; } return p; } }
- 算法分析: 最坏的情况下,每次 union 归并的树都是大小相等的,他们都包含了 2 的 n 次方个节点,高度都是 n,合并之后的高度变成了 n+1,由此可以得出 union 方法的时间复杂度是 O(lgN)
总结
union-find 算法只能判断出给定的两个整数是否是相连的,无法给出具体达到的路径;后期我们聊到图算法可以给出具体的路径
算法 | union() | find() |
---|---|---|
quick-find 算法 | N | 1 |
quick-union 算法 | 树的高度 | 树的高度 |
加权 quick-union 算法 | lgN | lgN |
文中所有源码已放入到了 github 仓库https://github.com/silently9527/JavaCore
参考书籍:算法第四版
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資深大佬 : OlamentPath compression 呢
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資深大佬 : theRealWhexy第一次看到并查集写得这么长。厉害了!
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資深大佬 : Baratheon根据邓巴指数的指导……150 个人作为社交关系上限的情况下,对这玩意儿的检测可能有点多余
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資深大佬 : ThanksSirAlex实际业务都用图数据库了,只不过图数据库里面本身可能会用并查集做查找
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資深大佬 : lance6716所以就是把<算法第四版>的代码搬运了一下?
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資深大佬 : jones2000“如何检测社交网络中两个人是否是朋友关系?”
首先你要把这两个人的个人信息和隐私(同学,亲戚,同事,各个聊天软件里的好友等等…….)都收集到, 然后才是算法。 -
資深大佬 : yianing我的朋友的朋友,不一定是我的朋友
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資深大佬 : no1xsyzy并查集的英文是 Disjoint-set
时间复杂度是反 Ackermann 函数……
顺便,每次搜索可以把整条路上的节点全部设到根节点上去。
用递归写这一段非常爽 find_parent(s): s.parent = find_parent(s.parent) -
資深大佬 : hanxiV2EX@yianing 可能是敌人
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資深大佬 : Ethsonhttps://ethsonliu.com/2019/12/union-find-sets.html