有没有存在这么一组特殊的数列？

• 資深大佬 : jifengg

  任意有限个数的有理数列（无理数不清楚），都是有规则的，且可以用一个数学公式来计算得出。
  比如 f(1)=a，f(2)=b，f(3)=c 。
  通用公式为：f(n)=a(n-2)(n-3)/2 + b(n-1)(n-3)/(-1) + c(n-1)(n-2)/2 。
  给定前 N 个，同样可以扩展这个公式。你可以注意到，我这个公式由三个数相加，我设计使 n=1，2，3 的时候，其余两个数都是 0 。
  我用这个方式解决过 ( )( )( )(2)(4)(6)(7)(8)的问题，当然答案不是“（门前大桥下）（游过一群鸭）（让我数一数）”

• 資深大佬 : geelaw

  主首先要解决的问题是准确表达自己的意思，比如什么叫做“离散且无规律”，当然这也是数学能力的一部分。要解决这个问题，可能需要先明确这个上下文里的“数列”“规则”的含义，以及什么叫“一组”。

• 主 資深大佬 : sockpuppet9527

  @jifengg #1

  “任意有限个数的有理数列，都是有规则的”，
  请问这部分是有数学证明吗？或者换句话问，这个结论是如何推出来的呢？搜了一会没有搜到相应的结论。

• 資深大佬 : ynyounuo

  非数学系，不过你第一句话应该就不成立。

  从直觉可以想到，任意有限个数的有序数字排列都可以是一个无限数列的一部分。而可以契合那列有序数字的无限数列也会有无限个。

• 資深大佬 : jifengg

  @sockpuppet9527 这个结论是我自己推导的，我上面发的就是我的推导过程，用 3 个数举例，同理 4 个 5 个……n 个，都可以用这个方法推导出公式。

• 主 資深大佬 : sockpuppet9527

  @jifengg #5 谢谢解答。很有用

  @ynyounuo #4 你的意思是说，有限数列可以对应多个推导公式？（这个确实可以想到存在的例子）。

• 資深大佬 : SmallTeddy

  (-9)(-4)(-1)(2)(4)(6)(7)(8)
  2 和 4 差 2，4 和 6 差 2 ； 6 和 7 差 1，7 和 8 差 1
  那么我是不是可以推到前面的数应该差 3，差 4
  所以是-9，-4，-1 。
  @jifengg 我这样是不是也是有规律的？也符合你这个通用公式：f(n)=a(n-2)(n-3)/2 + b(n-1)(n-3)/(-1) + c(n-1)(n-2)/2 。
  就像 @sockpuppet9527 质疑的，”任意有限个数的有理数列，都是有规则的”，这句话至少我认为是不正确的，如果把π小数点后面的数作为一个数列，你能说它是有规律的吗？他现在可以到多少千亿位多少万亿位不是通过高运算的计算机算出来的？按你这么说，数学家套个公式就可以算到无穷大位

• 資深大佬 : jifengg

  @sockpuppet9527 “有限数列可以对应多个推导公式”，是的，把我上面的推导公式变一下：
  f(n)=a(n-2)(n-3)/2 + b(n-1)(n-3)/(-1) + c(n-1)(n-2)/2 + 233*(n-1)(n-2)(n-3)。
  你看看，后面 233 是不是换成什么数都是成立的?是不是就有无限个公式了？

• 資深大佬 : jifengg

  @SmallTeddy 我觉得你可能误解我的意思了。”任意有限个数的有理数列，都是有规则的”，意思是“已经给出的有限个（ n ）有理数，总有一个公式 f(n)，满足 f(n)等于给出的那个数，这就叫这个有限数组的规律”，这个公式并不能计算“原本”n+1 位应该是多少，因为，这样的公式可以有无限多个。

• 資深大佬 : ynyounuo

  @SmallTeddy Pi 小数位后是无限的，截取任意长度的部分都会有任意多的规则可以契合该部分，但这并不代表这些规则就可以推算 Pi 的任意位，因为 Pi 小数位后是无限且无规律的。

• 資深大佬 : SmallTeddy

  @jifengg 额 好吧 我以为是推导并延伸数列 你这个是已知位数得出公式 但是公式并不能求出数列的下一个数

• 資深大佬 : SmallTeddy

  @ynyounuo 对 这一点上我是认同的

• 資深大佬 : lcdtyph

  有限数列的“规律”，拉格朗日插值公式可以直接插一个多项式来满足这个“规律”，并且可以通过这个多项式来预测后续的数字

  而如果用待定系数法可以解出任意多种所谓规律：想像成已知有限数列(已知 n 个点)是坐标系中的散点，你的目的是找一条曲线同时穿过所有的这些点，显然 n 次多项式只有一个解，这就是插值公示得到的那个；而如果你选择了一个比 n+1(或更高)次多项式来拟合，根据线性方程组的解的条件，有无数个这样的多项式满足要求

• 資深大佬 : geelaw

  #2 照常被忽略，且后续讨论看起来都没有在词语含义上达成一致。

  @jifengg #9 这句话意思不明确，什么叫做一个“公式”？如果你要求存在函数 f 使 f(n) = 数列第 n 项，则该函数平凡存在，因为该数列定义了该函数。

  如果你想表达的意思是“初等函数在 N 上的限制”，即所谓“初等通项”，甚至不需要只考虑有限项。任意整数列都具有初等通项，参考此项业余研究结果 https://www.zhihu.com/question/264901104/answer/286624324

  如果你想表达的意思是“可计算函数”，那有限定义域上的函数自然是可计算的。

  @SmallTeddy #7 所以你的疑惑是，什么叫做“规律”。

  就“有规律”这个概念，可以有很多种不同的理解，例如：

  – 具有函数关系
  – 具有初等函数关系
  – 具有可计算函数关系
  – 具有多项式时间可计算函数关系

  都是很常见的理解。

• 資深大佬 : Dwayne

  主说的去掉某个数或 M 个数后，会变成另外一个有“规律”的数列吧
  拉格朗日插值

  另外有个输入数列查相关信息的网站
  http://oeis.org/?language=chineseS

• 主 資深大佬 : sockpuppet9527

  @geelaw #14

  抱歉，我不是数学专业，并不是来讨论专业数学问题的，所以对你#2 的反问进行了忽略。

  我对数学领域上“规律”这个词的定义并不了解，所以我想表达的“规律”，指的是存在“数学关联”，比如递增，任意函数关系。

• 資深大佬 : BiteTheDust

  Berlekamp-Massey 算法可以根据已知序列求解递推式
  类似的 拉格朗日插值可以根据已知的序列求解多项式

• 資深大佬 : Jooooooooo

  需要严格的定义 “规律”

• 資深大佬 : misaki321

  拉格朗日插值，任何数列都能表示成某个多项式